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引言
复制伊斯兰几何图案的常见方法是通过手工，使用圆规和直尺，但近年来，密铺法（多边形接触）的发展势头良好，特别是在2007年Lu和Steinhardt将其推广并创造了"Girih 拼块"的名称之后[14]，Bonner在2017年出版了他关于这个问题的书籍[2]。
本文是关于拼块中非等边的系列的第二部分。在第一部分"Girih密铺：伊斯兰几何天才的拼图游戏"[12]中，我将Lu和Steinhardt的Girih拼块集[14, 17]从核心的5块拼块更新为14块拼块，引入了至少有一条边相对于单位长度的边具有Φ（黄金比例）长度的Φ类别，并将非等边拼块定义为适配拼块，见图1。
图1：升级版Girih拼块集，包括Φ类适配拼块
Φ类别是适配拼块的一个例子，但还有更多的例子。在本文中，我提出了一种基于不同边长的拼块的新拼块类别：短拼块类别。
拼块与形状
我所说的"拼块"是什么意思?当我读到拼块镶嵌的时候，"拼块"这个词通常指的是用来建造建筑图案的拼块，尤其是伊斯兰几何图案。模式的每一部分都被视为自己的一个实体。在几何学中，拼块这个词的意思是用这些碎片密铺一个平面(镶嵌)。
相比之下，我们有汉金的"多边形接触"方法，该模式是多边形通过不同的边规则相互作用的结果。在他1925年出版的出版物[15]中，汉金描述了线是如何穿过多边形的边缘的：
"……通过每个多边形每边的中心画两条线。这些线像字母X一样互相交叉，直到它们遇到其他类似起源的线为止。"
他对"多边形"一词的使用在邦纳的术语中留下了印记，也就是"多边形技术"[1，2]。因为多边形这个词是一个通用术语，所以"原型拼块"这个词通常用来特指这些多边形。我更喜欢省略"原型"这一部分，只用"拼块"这个词。
在这里，拼块是带有主题的模块化部件，见图2a。在边缘规则(交叉点和角度)的指导下，主题继续延伸到其他贴图。铺拼块就是把这些拼块镶嵌起来。
图2：拼块和形状的区别
对于中点交叉，主要的边规则是直线必须以对称的方式交叉，也就是说，它们在交叉的两侧必须具有相等的角度。当这些线继续并与来自其他交叉点的线相遇时，它们就形成了形状，见图2b。这些线不必只与第一条线连接；它们可以继续深入拼块，并连接到第二条或第三条线，从而使拼块具有不同的深度级别。在图2a中，十边形拼块的深度为2，蝴蝶结拼块的深度为1。这里的形状以灰色和白色显示。它们表示图案的二进制，就像棋盘一样，每个形状都与另一个颜色的形状相连。
"倒置"图案
当你观察现有的历史5重对称图案，想要知道如何密铺它时，通常有两种方法。图3中的图案[5]可以用两种方式来密铺，使用中位数的72o十边形拼块和蝴蝶结拼块，或者钝角的108o十边形, 五边形和桶形拼块[12]。其中一个角的选择有黑色的形状作为主要的主题，而另一个有白色的形状。
在一个图案中，拼块的边缘是不可见的。在分析时，你要努力找到隐藏的边缘，在两条图案线相交的地方找到。对每个角度进行二等分，你会得到一条垂直线，形成一个十字，在图3中以红色标出。十字上的每条线都表示一条拼块边缘，与另一条拼块边缘垂直，每条线都代表了对图案进行密铺的一种方式。
图3：密铺一个图案的两种方法
并非所有的图案都可以用两种方式密铺，所以当你开始分析一个图案有哪些密铺时，你必须选择一种方式，并测试它是否有效。如果没有，则反转角度。我用"倒置"这个词，是因为它在我自编的单词"倒置"中很好地配合了"拼块"这个词，因此这一章的名字也因此而得名。反转密铺会改变形状的极性，其中主图案会与主图案外的区域(靠近边缘)一起移动。这种现象不是什么新鲜事，但却是从不同的角度来看待的。在几篇论文[8，9]中，Castera描述了Kond图案族的正和负形状的概念，图3中的两种密铺图案的方法与之相对应。将其与卡普兰在其博士论文[17]中提出的"玫瑰变换"进行比较也是一件有趣的事。
"短类别"
在邦纳2017年的书[2]中，他只描述了5重对称系统的两个边长，单位边和Φ边。克伦威尔在他的论文[11]中也做了同样的事情，但卡斯特拉在一次研讨会演示中描绘了带有第三面的拼块[10]。在这里，我定义了这个新的边长，并在密铺图中引入了一个新类别——短类别，如图4所示。
图4：Girih拼块图中的短拼块类别
图5b中的锐角图案显示了Jules Bourgoin在其1879年的出版物[3]中描述的板块171[4]。密铺这种图案的常见方法是使用"核心—5"拼块、十边形和五边形拼块，加上升级版Girih拼块组[12]中的"锥形"适配拼块，见图5a。但反过来说，它也可以用不同的拼块组——短类拼块组来密铺。它只使用两块拼块，花瓣拼块和短版的十边形拼块（深度1），称为太阳，见图5c。
图5：Bourgoin，图版171，以两种方式密铺
定义
从"核心—5"拼块取一个蝴蝶结，将其切成两半，见图6。你最终会得到一个有三条单位长度边和一条较短边的拼块，因此被称为短边。这就是"花瓣"拼块。属于"短"类的拼块的定义是至少有一条边是短的。
图6：蝴蝶结拼块的一半成为花瓣拼块，S为短边
为了计算短边长度（S），我们可以用锥形拼块作为参考，见图7。Φ边和单位边的差值与花瓣中单位边和S边的差值相同，从而得到这个优雅的公式：S=2-Φ。
图7:短边的测量，单位边X = 1
核心短类拼块组——核心S
比起图5c中描述的花瓣拼块和太阳拼块，短拼块的数量更多。用半块s线圈拼块（见图12）作为切割片（图8中的黄色）来切割太阳拼块的碎片，会产生单位长度边的新拼块。切割片对所有的都是一样的，但在整个集合中的数量和角度是不同的。
图8：切割太阳
通过所有可能的切割，我们得到6种拼块，一张没有切割（太阳拼块），一张有一个切割（日出拼块），三张有两个切割（汉堡拼块、盾拼块和铲子拼块），还有一张有三个切割（花瓣拼块）。它们共同构成了短砖的核心组——核心S砖组，见图9。
图9：核心S拼块组
"Kond"和"Tond"是波斯图案[16]的两种。Castera使用的术语是"星形"和"花形"图案[9]。图3是一个星形图案的例子，图5是花形图案(因为它有花瓣形状)。核心S贴图的边缘规则为单位边144o，短边72o。花形图案的图案对应于Tond家族的Castera的正形和负形，见表1。
表1：将拼块映射到Castera的正负形状
Bourgoin的Plate 188b[6]中的花卉图案（见图10b中的单元格）可以用两种方式拼接。"短拼"（见图10c），使用短类中的四块拼块。值得一提的是，Castera的 "X型砖"[7, 8, 9]提供了另一种方式来密铺这种图案）。
图10:Bourgoin, Plate 188b，两种方式密铺
在米孜·阿克巴尔建筑卷轴[18]中，有一个花卉图案特别值得关注，见图11b中的单元格。它比较复杂，在拼贴时，它使用了核心S拼块组的全部六块拼块，见图11c。
图11：在米孜·阿克巴尔卷轴上密铺图案的两种方法(b在中间)
短核心5
正如名字核心S所暗示的那样，还有大量其他可能的短拼块。一个子类别已经在核心S中表示——来自核心5贴图集的十边形贴图Deca。当填充在核心S集合的差异是，除了尺寸，主题的线的深度。核心5拼块的其余贴图集也可以类似地调整为核心S拼块，见图12。
图12:短核心5和核心S在短类别中设置
图13显示了作者密铺的原始花卉图案。它包括短蝴蝶结拼块。尽管这样的组合产生了众所周知的形状，但短核心5诱导的形状出现在不同的尺度上在伊斯兰几何图案中并不常见。
图13：S蝴蝶结拼块给人一种独特的感觉（因为五边形在花卉图案中是不常见的）
非等边世界中的图案族
Bonner对图案家族的定义（锐角、中角和钝角）[2]是基于对整个图案中的角度（36o、72o和108o或144o）的一般感知，而不是具体到拼块的边缘规则角。图5中的图案被认为是锐角（36o），尽管该图案也由144o的角度组成。对于"核心—5"拼块，角度确实对应于拼块的边缘规则角，就像Φ类的适配器的单位边的边缘规则角一样。对于短拼块，拼块边缘规则角度（144o和72o）与图案家族定义的锐角（36o）的映射并不适用。
总结和结论
我用短拼块密铺的每一个历史图案，都可以用升级版Girih拼块组（G++）来构建。这似乎会使短拼块组有点多余，但它确实有其优点。当包括短核心5拼块时，只用升级版拼块组是无法倒置的，至少在进一步的类别或额外的短拼块子类别被引入之前是如此。
我认为，在设计新模式、验证历史模式和分析模式结构的过程中，短拼块提供了一个更好的视觉概览。这些新的类别和短拼块之间的互动将进一步实现对历史模式的复制。原因是专注于图案的核心视觉信息，以及它如何与我们人类互动。这要求拼块有独特的背景或图案着色。没有它，两种方式都是同样的挑战。它遵循格式塔心理学的基本规则[13]。相似性原则指出，彼此相似的元素往往被视为一个统一的群体。
应用于可以用短拼块密铺的图案(Tond图案)，花瓣形状通常比其他形状加起来更频繁。使用带有此形状的拼贴将是读取和解码图案的视觉刺激的能力的更好解决方案，而核心S拼块集(负色调形状)可以做到这一点。在设计阶段，或者当图案经过密铺分析时，更容易发现非花瓣形状，因为它们从花瓣形状的背景中突出出来。G++拼块(正色调形状)将三个更不重要的形状作为主要图案，这使得花瓣形状仅在密铺时形成，因此在密铺过程中不可见。
在本文中，核心S拼块只与自己和短核心 5拼块集的拼块配合。为了与升级Girih拼块组或全Φ边的黄金拼块配合，必须引入另一个类别——非中点平面（F）类别。这个新增的类别可以开辟出为更广泛的历史图案贴拼块的能力。在下一层次的拼块类别探索中，重点将放在非中点交叉上。
参考文献
[1] J. Bonner, "Three traditions of self-similarity in fourteenth and fififteenth century Islamic geometric ornament." ISAMA-Bridges Proceedings, Alhambra, Spain, 2003, pp.1–12.
[2] J. Bonner. Islamic Geometric Patterns: Their historical development and traditional methods of construction. Springer, 2017.
[3] J. Bourgoin, Les Eléments de l'Art Arabe. Firmin-Didot, 1879. Plates reprinted in Arabic Geometric Pattern and Design, Dover Publications, 1973.
[4] Tiling Search. J. Bourgoin, Plate 171. http://tilingsearch.org/HTML/data21/P54.html.
[5] Tiling Search. J. Bourgoin, Plate 175. http://tilingsearch.org/HTML/data12/P175.html.
[6] Tiling Search. J. Bourgoin, Plate 188b.http://tilingsearch.org/HTML/data169/P188B.html.
[7] J.-M. Castera, "Flying Patterns", Proc. ISAMA/Bridges, Coimbra, 2011.
http://castera.net/entrelacs/public/articles/Flying_Patterns.pdf.
[8] J-M. Castera. "Persian Variations." Nexus Network Journal, 18 (1), 2016, pp. 1-52.
[9] J-M. Castera. "TOND to TOND: Self-Similarity of Persian TOND Patterns, Through the Logic of the X-Tiles." Handbook of the Mathematics of the Arts and Sciences, 2019, pp. 1-39. http://www.springer.com/-/3/AVIb2MkW2brxj7RSmPy.
[10] J-M Castera. "Various Points of View on Geometric Patterns", The 3rd International Workshop on Geometric Patterns in Islamic Art, Istanbul, 2016.
[11] P. R. Cromwell. "Islamic Geometric Designs from the Topkap? Scroll II: A Modular Design System" Journal of Mathematics and the Arts, 4, 2010, pp. 119–136.
[12] L. Eriksson. "Adapter Tiles Evolve the Girih Tile Set" Bridges Conference, 2020, pp. 19-26. http://archive.bridgesmathart.org/2020/bridges2020-19.html.
[13] Wikipedia. Gestalt Psychology. https://en.wikipedia.org/wiki/Gestalt_psychology#Law_of_Similarity.
[14] Wikipedia. Girih Tiles. https://en.wikipedia.org/wiki/Girih_tiles.
[15] E. H. Hankin. "The Drawing of Geometric Patterns in Saracenic Art" Memories of the Arch?ological Survey of India, Govt. of India Central Publication Branch, Calcutta, Vol 15, 1925.
[16] Mofid, H., & Raieszadeh, M. "Revival of the forgotten arts: principles of the traditional architecture in Iran according to Hossein Lorzadeh" Mola Publications, Tehran, Iran 1995.
[17] C. S. Kaplan. "Computer Graphics and Geometric Ornamental Design" University of Washington, 2002.
[18] P.J. Lu and P.J. Steinhardt. "Decagonal and quasi-crystalline tilings in medieval Islamic
architecture" Science, 315, 2007, pp. 1106-1110. https://science.sciencemag.org/content/315/5815/1106.
[19] Pattern in Islamic Art. MA 002 : The Mirza Akbar Architectural Scrolls.
https://patterninislamicart.com/drawings-diagrams-analyses/7/mirza-akbar-architectural-scrolls/ma002.
[20] Lars Eriksson, The Short Tiles Category
青山不改，绿水长流，在下告退。
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