关于成语截长补短的意思及解释

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初二数学截长补短题

例1已知：如图1-1所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造等腰三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：在BC上截取BE=AB，连接DE，再取EC的中点M，连接DM∵AB=BE又∵BD平分∠ABCAD∴∠ABD=∠EBD在△ABD与△EBD中,AB=BE∠ABD=∠EBDBD=BDBEMC∴△ABD≌△EBD（SAS）如图1-1∴AD=ED∠A=∠BED，∵AD=DC，∴ED=DC∴∠C=∠DEC∴∠A+∠C=∠BED+∠DEC=180°例2已知：如图2-2，AE//BC，AD、BD分别平分EAB、CBA，EC过点D。求证：AB=AE+BC分析一：要证AB=AE+BC观察AD、BD是角平分线，因而可将DAED沿A翻折，从而需添加辅助线在AB上截取BF=BC，只需要推证出AF=AE，则可以使问题得以解决，那么如何推证AF=AE成为解决问题产关键。由于DAED、DADB、DBD的内角和都是180°，且EDC=180°，又由于AE//BE，因此E+C=180°从而EAB+CBA=180°，由AD、BD是角平分线，可推出1+4=90°，从而可推证出ADB=90°，因而6+8=90°。若能推证出7=8，那么只需要推证出DAED≌DAFD，从而可推证出AE=AF、由于BC=BF，1=2，BD是公共边，因此可推证出DBFD≌DBCD，则5=6，由于5+7=90°因此，6+7=90°，又由于6+8=90°，从而可推出7=8，由此可由AD是公共边，3=4推证出DAED≌DAFD，从而思路畅通，推证出AE=AF，由等量代换可推证出AB=AE+BC。证明一：在AB上截取BF=BC，连结DF。∴BD是ABC的平分线，∴1=2在DBDF和DBDC中（公共边）∴DBDF≌DBDC(SAS)如图2-2∴5=6（全等三角形对应角相等）∴3+8+E=4+1+5+7=2+6+C=180°（三角形内角和定理）∴E+EAB+ABC+C+EDC=540°又∴AE//BC∴E+C=180°（两直线平行同旁互补）又∵EDC=180°∴1+2+3+4=180°∴AD是EAB的平分线∴3=4∴1+4=90°∴5+7=90°（三角形内角和定理）∴6+8=90°∵5=6∴7=8在DAED和DAFD中∴DAED≌DAFD(ASA)∴AE=AF（全等三角形对应边相等）∵AF+FB=AB∴AE=FB=AE+BC=AB即AB=AE+BC分析二：延长BC交AD的延长线于F。要证AB=AE+BC，只需要证明BF=AB，只需要推证出CF=AE。而要证CF=AE，只需要推证出含有CF、AE的两个三角形DAED≌DFCD由于5=6，AE//BC，因此可推出3=F，若要推证出AD=FD，成为解决问题的关键，由于四边形AECB的内角和等于360°，E+BCE=180°，因此可知EAB+CBA=180°，又由于AD、BD是EAB、CBA的平分线，从而可推出1+4=90°，因此ADB=90°，则EDB=90°，推到此，他们通过观察图形可根据ASA推证出DABD≌DFBD，从而推证出AD=FD，思路形成。证明二：如图2-3,延长BC、AD交于F在DAED、DADB、DBDC中三个三角形的内角和共为540°（三角形内角和定理）又∵EDC=180°（平角定义）∴E+C+EAB+ABC=180°AE//BC∴（两直线平行同旁内角互补）∴3+4+1+2=180°又∴AD、BD分别是EAB、ABC的平分线∴3=4，1=2（角平分线定义）∴1+4=90°∴ADB=90°（三角形内角和定理）∴BDF=90°在DADB和DBDF中∴DADB≌DBDF(ASA)∴AD=FD,AB=FB，4=F（全等三角形对边，对应角相等）如图2-3在DAED和DFCD中∴DAED≌DFCD∴AE=FC∵BF=BC+FC∴BF=BC+AE∴AB=AE+BC例3已知：如图3-1所示，AD为△ABC的角平分线，AB＞AC,求证：AB—AC＞BD—DC分析：欲证AB—AC＞BD—DC，需把AB与AC的差，BD与DC的差或它们相等的量转化为同一个三角形的边，再利用三角形三边的关系加以证明。证明：方法一：截长法在AB上截取AE=AC，连接ED。A∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ADE与△ADC中,EAE=AC∠EAD=∠DACBDCAD=AD如图3-1∴△ADE≌△ADC（SAS）∴DE=DC在△ABD中，BE＞BD—DE（三角形两边之差小于第三边）即AB—AE＞BD—DC∴AB—AC＞BD—DC（等量代换）方法二：补短法延长AC到点E，使AE=AB，连接DEA∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△BAD与△EAD中,AB=AEC∠BAD=∠DACBDEAD=AD∴△ADE≌△ADC（SAS）∴DB=DE如图3-2在△ABD中，EC＞DE—DC（三角形两边之差小于第三边）即AE—AC＞DE—DC∴AB—AC＞BD—DC例4已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.证明：方法一（补短法）延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图4-2图4-2∴∠ACB＝2∠E，∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，在△ABD与△AED中,∴△ABD≌△AED（AAS）,∴AB=AE.图4-3又AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC.方法二（截长法）在AB上截取AF=AC，如图4-3在△AFD与△ACD中,∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD.又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB.∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD.

用两种方法证明（运用截长补短方法做出辅助线）在线等。

第二种方法是，补短法

延长BD到E点，源使DE=AD在BC上找一点F，使BF=AB

得：△百ABD≌△BDF（度SAS）

∴AD=DF=DE∠知ADB=60°道=∠BDF

∴∠EDC=60°（对顶角相等）

∠FDC=180°-60°-60°=60°=∠EDC

∴易证△FDC≌△EDC（SAS）

∴∠FCD=°=∠ECD=40°（前面有∠BCA=40°）

∴∠ECB=40°+40°=80°

∠E=180-∠EBC-∠ECB=180°-20°-80°=80°

∴∠E=∠ECB

∴BC=BE=BD+DE=AD+BD

那全等三角形的截长补短辅助线怎么做

有具体的题目才好说明。

截长：知1.过某一点作长边的垂线2.在长边上截道取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等版。

补短：1.延长短边2.通过旋转等方式权使两短边拼合到一起。

请参考百度百科：

全等三角形的截长补短辅助线：

1、截长补短法是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。

2、截长就是百将度三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等。

3、补短就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延知长后的线段与最长的已知线段的关系。有的是采取截长补短后使之构成某种特定的三角形进行求解。

4、截长补短法作辅助线适合于证道明线段的和、差、倍、分等类的题目。

5、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。全等三角形是几何中全等之一。根据全等转换，两个全等三角形经内过平移、旋转、翻折后仍旧全等。

6、截长补短法是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，截长就是在一条线上截取成两段，补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求容边。

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难百为易的一种思想．所谓“截长”，就是将度三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条问，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，答然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的版是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．

截长补短法作辅助线，适合于证明线段的权和、差、倍、分等类的题目．

截长补短的意思

截长补短zd

[释义]截：切断。把长的切下来接补短的。

[语出]宋·度正《条奏便民五事》：“旧城堙废之余；截长补短；可得十之五；为工约二万余工；为缗约五内千余缗；而城可成矣。”

[正音]长；不能读作“zhǎnɡ”。

[辨形]补；不能写作“朴”。

[近义]扬长补短集思广益

[反义]将错就错

[用法]一般作谓语、宾语、定语。

[结构]连动式。容

用两种方法证明（运用截长补短方法做出辅助线）在线等。

第二种方法度是，补短法

延长BD到E点，使DE=AD在BC上找一点F，使BF=AB

得：△ABD≌△BDF（SAS）

∴AD=DF=DE∠ADB=60°内=∠BDF

∴∠EDC=60°（对顶角相等）容